Modelos alternativos para la teora de lmites en el clculo superior

 

Alternative models for the theory of limits in the superior calculus

 

Laura de Jess Calero Proao PhD., MSc., Ing. Amb. [1]

laura.calerop@ug.edu.ec

Marcial Sebastin Calero Amores, Doctor. MSc., Ing. Civ[2]

mcaleroa@ulvr.edu.ec

 

Fecha de presentacin: julio 2017 Fecha de aceptacin: septiembre 2017

RESUMEN

La investigacin aborda la problemtica del Clculo Superior relacionada con lmites algebraicos y exponenciales que tienden al infinito, formulando tres modelos alternativos para solucionarlos. La metodologa fue, plantear estudios de casos, analizarlos utilizando los modelos alternativos desarrollados y sintetizar el proceso en tres modelos. Los modelos se sustentan en el manejo de los coeficientes de la variable en su mximo grado sea de forma directa o transformada y de ser el caso estabilizada por la variable nula. Los modelos son fciles de aplicarse y facilitan el aprendizaje del clculo.

Los modelos desarrollados son:

II

Palabras clave: Clculo Superior. Lmites. Funciones. 𝑋 → ∞. Variable. Exponente. Coeficiente.

 

 

ABSTRACT

 

The research discusses top calculation problems related to algebraic and exponential limits that tend to infinity, by formulating three alternative models to solve them. The methodology was, consider case studies, analyzed using developed alternative models, and synthesize the process in three models. Models are based on the coefficients of the variable handling in its maximum degree is directly or transformed and be stabilized by the null variable case. The models are easy to apply and facilitate the learning of calculus.

Models developed are:

 

Keywords: Calculus higher. Limits. Functions. Variable. Exponent. Coefficient.

 

INTRODUCCIN

Los fenmenos de la naturaleza se expresan a travs de procesos que pueden ser modelados por las matemticas y especialmente con la intervencin del clculo superior.

El clculo diferencial tiene como estructura coyuntural la teora de lmites, su existencia y conceptualizacin fundamentan la derivada (Granville 2009). La teora de lmites es paso inicial para desarrollar la derivada, entender y manejar los lmites es imprescindible para acometer problemticas de teora y aplicacin del clculo diferencial a los distintos problemas fsicos profesionales, que tienen en el clculo superior la explicacin del comportamiento entre las variables que describen ese fenmeno y caracterizan a las ciencias fsicas.

 

Los lmites sean esto de tendencia a una cantidad o al infinito, caracterizan con cierto valor de entrada a una funcin, en un entorno inmediato, para lo cual el clculo mediante una serie de tcnicas manipula la operacin de los lmites (Carmona 1993).

 

En el contexto del clculo diferencial, las operaciones con lmites para resolver la tendencia al infinito de las funciones, constituyen una problemtica que debe resolverse mediante tcnicas de desarrollo cientfico que optimicen estas operaciones y aporten al proceso cognitivo de las matemticas superiores. Para resolver problemas tericos y principalmente prcticos como son problemticas intervinientes en la Economa, Fsica, Arquitectura, Ingenieras, u otras ciencias, relacionadas con, gradientes, comportamientos de variables, optimizacin de diseos, estructuras, mecnica de materiales, procesos ambientales u otros, la intervencin del clculo y lmites son mtodos para la resolucin de conflictos tcnicos y cientficos.

 

La investigacin tiene por objetivo a travs de estudios de casos, desarrollar modelos matemticos alternativos (Calero 2011), para resolver problemas de la teora de lmites del clculo infinitesimal relacionados con funciones algebraicas y exponenciales que tienden al infinito. Los modelos facilitan el proceso cognitivo-significativo para la enseanza-aprendizaje del clculo superior.

 

MATERIAL Y METDO

Aplicando la definicin de lmite (Espinoza 2011), para una funcin la cual tiende al infinito por su entorno se define como: La funcin f(x) tiene como lmite L, s, la diferencia en valor absoluto e entre la funcin y el lmite es real y existe un nmero N > 0 y se describe:

 

El mtodo que aplica el clculo diferencial para resolver los lmites objeto del estudio, es quitando la indeterminacin por el manejo del exponente de la variable (Valladares 2010). Otra forma de solucionarlos es aplicando la regla de L Hospital.

 

El trabajo se enmarca en la investigacin pura con connotacin en la investigacin aplicada por el manejo operacional de los lmites que tienden al infinito, que son parte de la derivada y aplicable a la optimizacin de funciones y estructuras u otras. As mismo, la investigacin tiene alcance cuantitativo, inductivo, heurstico y lgico.

 

El proceso de investigacin permiti arribar a un mtodo alternativo y sencillo para resolver problemas de lmites que tienden al infinito, se fundamenta en las reglas del algebra superior, la homogenizacin y transformada de funciones y manejo y sustitucin de variables Los seis casos de estudios que se analizan fundamentan la investigacin realizada y validan el mtodo con los modelos alternativo propuesto, se han dividido en escenarios para simplificar, fundamentar y generalizar los modelos producto de la investigacin. Los modelos generales aplicados para resolver los casos presentados, se realiza a travs del siguiente proceso metodolgico:

 

1. Aplicacin a los seis casos de estudio los modelos alternativos investigados.

2. Validacin y generalizacin de los modelos desarrollados.

 

El proceso metodolgico se desarrolla describiendo en primer lugar el anlisis de los casos aplicando los modelos propuestos.

 

Estudio de casos

a.) Mtodo de homogenizacin de la variable

El mtodo consiste en homogenizar la variable en su mxima potencia y relacionar los lmites de sus coeficientes.

 

Caso 1: La expresin tiene la variable con igual mxima potencia en numerador y denominador El mtodo se fundamenta en relacionar los coeficientes de la variable a la mxima potencia:

 

Desarrollo de modelo para caso 1

 

Lmite al infinito, cuando la variable en su mxima potencia es igual tanto en el numerador como en el denominador

 

Caso 2: La expresin tiene la mxima potencia en el denominador

El mtodo se fundamenta en homogenizar la mxima potencia en la expresin, adicionando un trmino neutro y procediendo igual que en el caso anterior:

 

 

Desarrollo del modelo para el caso 2

 

Lmite al infinito, cuando la variable en su mxima potencia est en el denominador y es mayor que la potencia de la variable en el numerador

 

 

 

Caso 3: La expresin tiene la mxima potencia en el numerador

El mtodo se fundamenta en homogenizar la mxima potencia en la expresin, adicionando un trmino neutro y procediendo a relacionar los coeficientes de la variable a la mxima potencia:

 

 

Desarrollo del modelo para el caso 3

Lmite al infinito, cuando la variable en su mxima potencia est en el numerador y es mayor que la potencia de la variable en el denominador

 

 

b.) Mtodo de transformacin y homogenizacin de la variable

El mtodo es una variante de la aplicacin del mtodo anterior y se fundamenta en transformar la variable, estabilizarla, homogeneizarla y aplicarle la relacin de los coeficientes de dicha variable a la mxima potencia. Adems, el cambio de variable en relacin al lmite al cual tiende no se afecta debido a que el mtodo relaciona al final coeficientes reales.

 

Caso 4: La expresin tiene la variable exponencial con igual mxima potencia en numerador y denominador.

 

El mtodo se fundamenta en transformar la variable y relacionar los coeficientes de la variable transformada a la mxima potencia:

 

 

Desarrollo del modelo para el caso 4

Lmite al infinito, cuando la variable exponencial en su mxima potencia es igual tanto en el numerador como en el denominador

 

 

 

a = base de la variable exponencial

m = coeficiente de la variable exponencial

𝑍 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

 

Caso 5: La expresin tiene la variable exponencial con mxima potencia en el numerador

El mtodo se fundamenta en homogenizar la variable exponencial en su mxima potencia, adicionando un trmino neutro y procediendo a relacionar los coeficientes de la variable transformada a la mxima potencia:

 

 

Desarrollo del modelo para el caso 5

Lmite al infinito, cuando la variable exponencial en su mxima potencia est en el denominador, siendo mayor que la variable exponencial del numerador

 

 

a = base de la variable exponencial

m y n = coeficientes de la variable exponencial

𝑍 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

 

Caso 6: La expresin tiene la variable exponencial con mxima potencia en el denominador.

 

El mtodo se fundamenta en homogenizar la variable exponencial en su mxima potencia, adicionando un trmino neutro y procediendo a relacionar los coeficientes de la variable transformada a la mxima potencia:

 

 

 

 

Desarrollo del modelo para el caso 6

Lmite al infinito, cuando la variable exponencial en su mxima potencia est en el Numerador, siendo mayor que la variable exponencial del Denominador

 

 

a = base de la variable exponencial

m y n = coeficientes de la variable exponencial

𝑍 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

 

Modelos finales desarrollados

Los seis casos investigados se enmarcan en dos grandes escenarios por tipo de funciones matemticas que son, la funcin algebraica y la funcin exponencial.

 

Los casos 1 y 4, 2 y 5 y 3 y 6, se agruparon en base al comportamiento de la variable tanto por su potencia como por su posicin y son para la investigacin estructuralmente equivalentes tanto para la funcin algebraica como para la exponencial, en este contexto, los seis casos se consolidaron en tres grupos y se representaron mediante una expresin por cada grupo, que son los modelos (1), (2) y (3).

 

Los tres modelos que constituyen el producto final de la investigacin se sustentan en las leyes de las matemticas superiores y responden a la posicin de la variable con su mxima potencia en la funcin analizada y su transformacin de exponencial a algebraica.

 

 

 

RESULTADOS

Los tres modelos desarrollados y aplicables a la teora de lmites algebraicos y exponenciales son:

 

 

 

 

DISCUSIN

Los casos investigados tienen como contexto la funcin algebraica y la funcin exponencial.

 

En base a la metodologa por tipo de funciones, inicialmente se propusieron seis modelos; sin embargo, los modelos inicialmente determinados se consolidaron de acuerdo a la estructura conceptual matemtica a tres, que corresponden a la situacin de la variable y la transformacin entre funciones que se aplica. Los tres modelos desarrollados representan un mtodo alternativo y validado para resolver la problemtica de lmites de funciones que tienden al infinito, que se enmarca en el estudio del clculo diferencial...

 

 

Uno de los hallazgos que fortalece y aport a la investigacin, est relacionada a que la evaluacin de lmites que tienden al infinito pueden representarse por la relacin entre los coeficientes de la variable que tiene la mxima potencia sea de forma directa o transformada, aunque en algunos casos la funcin debe ser manejada para hacerla equivalente a los modelos elaborados. As mismo, los modelos son simples de aplicar y facilitan la enseanza-aprendizaje del clculo superior

 

CONCLUSIONES

Se desarrollaron tres modelos matemticos alternativos para resolver una de las problemticas involucradas en el estudio del clculo superior, representado por los lmites de funciones algebraicas y exponenciales que tienden al infinito

Se estudiaron 6 casos y 12 problemas modelos que evidenciaron la problemtica y validaron cientficamente los tres modelos desarrollados

La investigacin aporta al desarrollo cientfico de las ciencias tcnicas, proporcionando modelos de aplicacin general y facilita la enseanza-aprendizaje del clculo superior aplicado a ciencias econmicas, comercial y duras.

 

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

CALERO A. (2011). Apuntes de clases de Matemticas II. Ecuador. Universidad de

Guayaquil

CARMONA, M. (1987). Matemticas para arquitectura. Trillas. Mxico

ESPINOZA, R. (2012). Anlisis Matemtico. Per. EDUKPER

GRANVILLE, A. (2009). Clculo Diferencial e Integral. LIMUSA S.A. Mxico

VALLADARES, S. (2010). Solucionario de William Anthony Granville. Ecuador. MARCOVA



[1] Docente de la Universidad de Guayaquil. Docente Facultad de Arquitectura y Urbanismo.

[2] Docente de la Universidad Laica Vicente Rocafuerte Guayaquil Ecuador Docente Investigador Facultad de Ingeniera, Industria y Construccin

 

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