Desarrollo de modelos polinomiales para el clculo de densidad de materiales azucareros en funcin del Brix y Temperatura y su aplicacin a sistemas informticos

 

Development of polynomial models for the calculation of density of sugar materials based on Brix and Temperature and its application to computer systems

 

Oscar Vasquez[1]

ovasquezc@ucacue.edu.ec

Marcos Orellana Parra[2]

morellanap@ucacue.edu.ec

Ana Hinojosa Caballero[3]

aghinojosac@uacue.edu.ec

Fecha de presentacin: julio 2017 Fecha de aceptacin: septiembre 2017

 

RESUMEN

Esta investigacin busca la determinacin de un modelo matemtico aplicado a sistemas informticos, que permita calcular la densidad de materiales azucareros (con pureza superiores a 75%) en funcin de la temperatura y Brix. Esta determinacin es de sumo inters para los balances msicos azucareros que dependen de la densidad y Brix de los materiales azucareros, ambos son influenciado por la temperatura, por lo que deben ser corregidos y llevados a 20C, que es la temperatura estndar para los diferentes clculos msicos en los ingenios azucareros, cuyo fin persigue determinar la eficiencia de recuperacin de azcar en la fbrica.

A los diferentes datos para Brix, densidad y temperatura utilizados en esta investigacin, extrados de los libros de tecnologa azucarera de uso general en los ingenios, con el uso del programa Microsoft Excel, y aplicando los diferentes modelos de ajuste de curva, ya sea lineal, exponencial, logartmico y polinomial, este estudio estableci el modelo polinomial en base al mtodo de los mnimos cuadrados como una propuesta confiable para el clculo de la densidad de materiales azucareros corregida a 20C, considerando que en el clculo del coeficiente de regresin sus valores obtenidos fueron de 0.99999, es decir cercano al valor ideal de un coeficiente de regresin que es 1. Adems, los resultados generados por este modelo en el sistema informtico fueron similares con los obtenidos en el sitio web www.sugarengineers.co.za/density/index.php, conociendo que este sitio web es un referente mundial en el quehacer de la ingeniera azucarera.

 

Palabras clave: Brix, densidad, pureza, eficiencia de recuperacin de azcar, ajuste de curva

 

ABSTRACT

The objective of this research pursued the determination of a mathematical model applied to a spreadsheet that allows you to calculate the density of sugar materials (with more than 75% purity) depending on the temperature and the Brix. This determination is of great interest for the sugar mass balance depending on the density and Brix sugar materials. Both are influenced by temperature, so it should be corrected and taken to 20 C, which is the standard temperature for different calculations mass in the sugar mills, which aims to determine the recovery efficiency of sugar factory.

To different data for Brix, density and temperature used in this research, taken from the books of sugar technology, commonly used in refineries, with the use of the Microsoft Excel program, version XP or higher, applying different models of curve fit, either linear, exponential, logarithmic, and polynomial, this study establishes the polynomial model based on the method of the least squares as a proposal for the calculation of the density of sugar materials corrected at 20 C, and for this reason the results generated from this model were similar with those obtained on the web site; The Sugar Engineers, considering that this web site is a world leader in sugar work.

 

Keywords: Brix, purity, density, recovery efficiency of sugar, adjust curve

 

INTRODUCCIN

En los procesos industriales de la elaboracin del azcar, el control analtico del Brix y Pol es fundamental en el clculo de la eficiencia de la fbrica de un ingenio azucarero, nmero que relaciona la cantidad de azcar disponible en la caa previo al proceso de molienda contra la cantidad de azcar real recuperada en el proceso productivo (Chen, 1991). En este sentido, entre las principales operaciones unitarias azucareras se encuentra la concentracin de slidos (Brix y Pol) debido a la eliminacin del agua del jugo de la caa por ebullicin, usando como energa calorfica aquella procedente principalmente del vapor de agua generada en las calderas.

 

En el proceso de concentracin de slidos del jugo de la caa y otros de materiales azucareros tales como meladura, masas y mieles el Brix incrementa su valor, pero su vez el ndice de refraccin que est en relacin directa con el Brix sufre cambios por efectos de la temperatura, por lo que la lectura del Brix tomada a cualesquiera temperaturas que no sea 20 C debe ser corregido (Chen, 1991). Por esta razn en los diferentes libros de tecnologa y/o ingeniera azucarera incluyen tablas de correccin por temperatura para las mediciones de Brix.

 

Esta correccin debe realizarse agregando o disminuyendo determinado valor al Brix ledo si ste es realizado por encima o debajo de los 20C., respectivamente. A continuacin, se muestra una parte de la tabla de correccin por temperatura para mediciones de Brix, extrado de la tabla 21 del libro Manual de Azcar de Caa de James Chen.

 

En base al nuevo valor de Brix o Brix corregido es posible determinar otras variables tales como la densidad del material azucarero que ser utilizado para cuantificar el peso del material azucarero que se encuentra en su tanque recolector en el momento de realizar el balance de sacarosa en la fbrica. La densidad y su relacin con el Brix en funcin de la temperatura es encontrado en tablas publicadas en los diferentes textos de literatura azucarera, especialmente en el Libro de Mtodos (2005) de ICUMSA, apndice1 Tabla A y apndice 2 Tabla B., libro oficial a nivel internacional que contiene los diferentes ensayos para el azcar y sus derivados.

 

En las ciencias matemticas existen mtodos como el ajuste de curva que permite representar series de datos dos variables, entre ellos datos de tablas, en forma de ecuaciones tales como la lineal y polinomial.

 

Modelo Lineal: Ajusta un conjunto de datos de dos variables a una ecuacin lineal de la forma y = a + bx.

 

La aplicacin del mtodo de los mnimos cuadrados permite obtener los parmetros a y b de la ecuacin referida. Esta tcnica tiene su fundamento en la determinacin de las mnimas distancias entre cada uno de los puntos y la recta, generando las siguientes derivadas parciales.

 

Obteniendo las derivadas parciales e igualando a 0, las ecuaciones quedan como:

 

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones dar como resultados los valores de los parmetros a y b, quedando definida de esta forma la ecuacin lineal.

 

Modelo Polinomial: Mediante el mtodo de mnimos cuadrados, un conjunto de datos de dos variables se ajusta a una funcin polinomial de la forma:

 

En donde la suma de los cuadrados ser:

 

 

Sus derivadas parciales para un polinomio de tercer grado a aplicarse en este estudio, quedan como:

 

 

La solucin de este sistema de ecuaciones puede obtenerse aplicando mtodos numricos tales como Gauss Jordan, Gauss Seidel, Jacobi.

 

En la Introduccin el autor ofrece una visin concisa y analtica del objetivo de la ponencia, de los trabajos e investigaciones previas dedicadas a la temtica, as como de los antecedentes del estudio. Desarrollo de las teoras sustantivas o enfoques que la investigacin presente. En este caso la introduccin es el cuerpo de artculo.

 

MTODO

En este estudio las tablas base para la determinacin de la densidad en funcin del Brix y la temperatura han sido seleccionada del Libro de Mtodos (2005) de ICUMSA que corresponden a apndice 1 Tabla A y apndice 2 Tabla B. De esta ltima tabla en la primera fila est ubicada la temperatura que va desde 10C hasta 80C en intervalos de 10C y en primera columna viene representada por Brix (w en %) con rango de 0 a 85 Brix en intervalos de 5 Brix y en la interseccin de fila y columna se encuentra la densidad en kg/m3, tal como se indica en la tabla 1.

 

Tabla 1. Densidad en funcin del Brix y Temperatura

 

Para valores de Brix y temperatura impresos en esta tabla no existe dificultad para determinar la densidad del material, as por ejemplo para Brix = 35 y temperatura = 50 C responde a un valor de densidad de 1137.641 kg/m3 o as con Brix = 80 y temperatura = 70 genera una densidad de 1382.95 kg/m3.

 

Pero el uso de la tabla se vuelve dificultosa cuando hay que obtener valores de la densidad con datos de Brix y temperatura que no constan en ella. As por ejemplo, para Brix = 53 y temperatura = 36.5 C, la tabla no dispone estos valores incluido la densidad.

 

Como solucin a esta limitante mediante la aplicacin de ajuste de curva por el mtodo de mnimos cuadrados se obtiene polinomios para cada valor de Brix de la tabla en correspondencia con sus temperaturas.

 

Desarrollo del Polinomio para 0 Brix y Temperaturas Correspondientes

De la tabla 2 para 0 Brix y temperatura correspondiente se calcula las diferentes sumatorias necesarias para obtener el polinomio por el mtodo de mnimos cuadrados, obtenindose los resultados indicados en la tabla 2.

 

 

Tabla 2. Temperatura y Densidad para 0 Brix

 

 

El sistema de ecuaciones queda como:

 

 

Aplicando el mtodo de Gauss Jordan, la solucin para el sistema es:

 

El modelo polinomial para determinar la densidad en funcin de la temperatura a 0 Brix queda definido con la siguiente ecuacin:

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999995

 

En donde,

 

Densidad = Densidad del material azucarero en kg/m3

t = Temperatura en C.

 

Utilizando el mismo procedimiento de clculo fue obtenido los polinomios para los dems valores de Brix, mostrados a continuacin.

 

Brix = 5

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999996

Brix = 10

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999997

Brix = 15

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999998

Brix = 25

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 30

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 35

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 40

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 45

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 50

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 55

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 60

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 65

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 70

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 75

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 80

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

Brix = 85

 

Coeficiente de Correlacin = 0.999999

 

Con estas funciones polinmicas es posible calcular la densidad de soluciones azucaradas a temperaturas entre 0 y 100 C. Para el caso del clculo de la densidad para valores de Brix que no est definida su ecuacin, debe procederse a realizar una interpolacin ya sea lineal o polinmica.

 

Por ejemplo, determinar la densidad de solucin de azcar a 83 Brix cuya temperatura es 46 C.

 

Solucin: Proceder primero a encontrar densidad de material a 80 Brix y luego a 85 Brix a la temperatura de 46C, usando las ecuaciones polinomiales ya definidas :

 

 

Luego con estas dos densidades interpolar la densidad al Brix de 83, aplicando el modelo lineal siguiente:

 

 

Una vez definido todos los modelos matemticos a utilizarse en la determinacin de la densidad de soluciones azucaradas en funcin del Brix y temperatura, usando la aplicacin Excel de Microsoft Office se procede a programar las diferentes funciones para automatizar este clculo.

 

A continuacin, detalle de la programacin en Microsoft Visual Basic para Aplicaciones incluido en Excel.

 

 

 

El mdulo de programacin Visual Basic de Excel para la funcin en estudio puede verse en el siguiente grfico

 

 

Una vez realizado la programacin, queda registrado automticamente en la hoja de Excel una nueva funcin de nombre densidad que utiliza dos parmetros, Brix y temperatura.

 

Entonces en cualquier celda puede ingresarse esta funcin con los dos parmetros para obtener su resultado, tal como indica la siguiente figura.

 

 

RESULTADOS

Una serie de datos para Brix y temperatura fueron ensayados en la hoja de clculo que contena la funcin para el clculo de la densidad indicado anteriormente y sus resultados fueron comparados con las densidades que arrojo la aplicacin web The Sugar Engineers en lo que corresponde a propiedad de materiales. Los resultados comparativos se muestran en la siguiente tabla.

(*) : El valor de densidad de polinomio fue redondeado a un decimal

debido a que la densidad del sistema Sugar Engineers solo arroja

valores con un decimal.

 

DISCUSIN

Los resultados de densidad en funcin de Brix y temperatura obtenidos en la hoja de Excel programada y en el sistema Sugar Engineers (www.sugarengineers.co.za/density/index.php) todos fueron similares, presentado diferencia en el segundo decimal pero esencialmente porque el sistema Sugar Engineers despliega resultados con precisin de valores de un decimal y no permite una comparacin exhaustiva, sin embargo la aplicacin de estos modelos polinmicos para el clculo de la densidad de materiales azucareros presenta confiabilidad en su uso porque el coeficiente de correlacin (r) obtenido para cada polinomio corresponda a un valor de 0.99999, cercano al ideal de 1. Una gran ventaja que presenta este modelo matemtico en Excel es que permite ingresar datos Brix entre el rango de 0.00 a 100.00 y para la temperatura entre el rango de 0.00 C a 100 .00C, incluyendo valores decimales para ambas variables; no as el Sistema Sugar Engineers que solo permite ingresar valores enteros tanto para Brix como para temperatura, con rangos entre 5 a 90 para Brix y 20C a 80C para la temperatura.

 

 

 

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

ICUMSA. 2006. Libro de Mtodos 2015. Berlin. Berlin. Verlag Dr. Bartens KG.

CHEN, JAMES C.P. 1991. Manual del azcar de caa. Mxico. Editorial Limusa.

HUGOT, E. 1986. Handbook of Cane Sugar Engineering. Holland. 3ra Edition. Amsterdam.

Elsevier REIN, P. 2007. Cane Sugar Engineering. Berlin. Verlag Dr. Bartens KG.

LEITHOLD, L. 2000. El Clculo. 7ma. Edicin. Mxico. Editorial Universitaria Iberoamericana.

KREYSZIG, E. 1980. Matemticas Avanzadas para Ingeniera. Mxico. Editorial Limusa.

MASON, R. LIND, D. 1998. Estadstica para Administracin y Economa. 8va. Edicin.

Mxico. Alfaomega Grupo Editor.

1. DELIVERY

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[1] Universidad Catlica de Cuenca, La Troncal, Caar, Ecuador

[2] Universidad Catlica de Cuenca, La Troncal, Caar, Ecuador

[3] Universidad Catlica de Cuenca, La Troncal, Caar, Ecuador,

 

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