Ajuste paramtrico c1 y c2 en el desempeo del algoritmo de optimizacin de partculas pso

Parametric adjustment c1 and c2 in the performance of particle swarm optimization pso

 

MSc, Bodero Poveda Elba Mara[1]

ebodero@unach.edu.ec

MSc, Villacrs Cevallos Edison Patricio[2]

evillacres@unach.edu.ec

MSc, Ricaurte Ortiz Pal Stalin[3]

pricaurte@unach.edu.ec

MSc, Paredes Herrera Marco Marcel[4]

mparedes@unach.edu.ec

MSc, Chiriboga Zamora Patricia Alexandra[5]

pchuriboga@unach.edu.ec

 

Fecha de recibo: diciembre 2018, Fecha de aceptacin: febrero 2019

RESUMEN

La estimacin de costos un proceso vital en la planificacin de la produccin industrial, garantizando una mayor exactitud. Un producto en su ciclo de vida parte de la estimacin de costos, logrando con ello establecer los elementos de diseo, viabilidad y mrgenes de utilidad. El algoritmo metaheurstico poblacional Optimizacin de Enjambre de Partculas (PSO) desde su aparicin ha demostrado ser eficiente en la solucin de problemas de optimizacin, la variacin de sus parmetros ha permitido mejorar su eficiencia. Entre los parmetros de configuracin se encuentran los coeficientes de aceleracin c1 y c2. El presente trabajo est centrado en realizar un estudio del ajuste paramtrico de c1 y c2 en el desempeo de PSO para resolver un problema de estimacin de costos en la fabricacin de tuberas. Dado que los diseadores son propensos a cometer errores, y en la bsqueda de modelos que representen al fenmeno estudiado, se ha demostrado que la modelacin de problemas no lineales, basada en Redes Neuronales Artificiales (ANNs) provee aproximaciones con bajo margen de error. En consecuencia, en este artculo es mostrada la implementacin de una Red Neuronal Artificial (ANN) tipo feedforward sigmoidal con aprendizaje PSO para lograr mejorar la exactitud en la estimacin de costos. El estudio de caso utilizado para evaluar el modelo, corresponde a datos provenientes de la produccin de tubera para la transferencia de fluidos en la industria minera con informacin relacionada al peso, tipo de soldadura, dimetro y el correspondiente costo. Los valores evaluados como coeficientes de aceleracin estuvieron en el rango 0 a 10, los dems parmetros, en este caso factor inercial y el tamao de enjambre se trabajaron con valores fijos. La funcin objetivo utilizada es el Error Cuadrtico Medio (MSE), calculado entre los valores observados y los valores estimados por la ANN. A partir de los resultados se puede observar que valores muy pequeos de c1 y c2 obtienen baja exactitud en la estimacin de costos de fabricacin de tubera, en tanto que la mejor exactitud es lograda por medio de una ANN con aprendizaje PSO, cuyos coeficientes de aceleracin son mayores o iguales a 0.5.

 

Palabras Clave: Coeficientes de Aceleracin, Metaheurstica poblacional, Mtodo Estocstico, Particle Swarm Optimization, PSO.

 

ABSTRACT

The estimation of costs a vital process in the planning of industrial production, guaranteeing greater accuracy. A product in its life cycle starts from the estimation of costs, achieving in this way to establish the elements of design, viability and profit margins. The metaheuristic population algorithm Optimization of Particulate Swarm (PSO) since its appearance has proven to be efficient in solving optimization problems, the variation of its parameters has allowed to improve its efficiency. Among the configuration parameters are the acceleration coefficients c1 and c2. The present work is focused in carrying out a study of the parametric adjustment of c1 and c2 in the performance of PSO to solve a problem of estimation of costs in the manufacture of pipes. Given that designers are prone to make mistakes, and in the search for models that represent the phenomenon studied, it has been demonstrated that the modeling of nonlinear problems, based on Artificial Neural Networks (ANNs), provides approximations with a low margin of error. Consequently, this article shows the implementation of an Artificial Neural Network (ANN) type sigmoidal feedforward with PSO learning to improve the accuracy of cost estimation. The case study used to evaluate the model corresponds to data from the pipeline production for the transfer of fluids in the mining industry with information related to the weight, welding type, diameter and the corresponding cost. The values ​​evaluated as coefficients of acceleration were in the range 0 to 10, the other parameters, in this case inertial factor and the size of swarm were worked with fixed values. The objective function used is the Mean Square Error (MSE), calculated between the observed values ​​and the values ​​estimated by the ANN. From the results it can be seen that very small values ​​of c1 and c2 obtain low accuracy in the estimation of pipe manufacturing costs, while the best accuracy is achieved by means of an ANN with PSO learning, whose acceleration coefficients they are greater than or equal to 0.5.

Key words: Acceleration Coefficients, Population Metaheuristics, Stochastic Method, Particle Swarm Optimization, PSO.

Introduccin

 

Particle Swarm Optimization (PSO) es un mtodo estocstico de optimizacin global que inicia con estudios realizados por Kennedy y Eberhart (1995, 2001), donde, el proceso evolutivo se reduce a mover cada partcula dentro del espacio de soluciones con una velocidad que variar de acuerdo a la actual, a la memoria de la partcula y a la informacin global que comparte el resto del enjambre, utilizando una funcin de fitness para cuantificar la calidad de cada partcula en funcin de la posicin que sta ocupe, ms all de la propia naturaleza del mtodo, los esquemas existentes para la implementacin son muy diversos. En la investigacin realizada por Carlisle y Dozier (2001) se muestran variantes dependiendo de cmo se actualicen las posiciones de las partculas, y surgen las versiones sncrona y asncrona del algoritmo. Adicionalmente, dependiendo de cmo se haga influir la experiencia acumulada por el enjambre sobre el movimiento de cada una de las partculas que lo integran, se puede distinguir entre PSO local y global, como lo indican Eberhart y Shi (2001).

Dado que el problema de ajuste paramtrico en sistemas adaptables puede gasimilarse como un problema de optimizacin, se aprovecha este hecho para realizar el proceso utilizando PSO.

Son muy extensas las variantes que los autores e investigadores plantean a nivel mundial, con el propsito de mejorar el rendimiento del algoritmo original en aplicaciones concretas. Al trasladar la filosofa de PSO al campo de la vida artificial y del cmputo evolutivo, entre las mltiples reas donde ha sido aplicado con xito, destacan por su importancia: optimizacin de funciones y resolucin de problemas matemticos complejos (Laskari et al., 2002), (Hu et al., 2003)), optimizacin de pronstico sobre algoritmos clsicos (Barba y Rodrguez, 2015), optimizacin de estimacin de datos con redes neuronales artificiales (Barba y Bodero, 2017), (Bodero y Leguizamn, 2018), entrenamiento de redes neuronales (Ismail y Engelbrecht, 2000), (Srinivasan et al., 2003), (Eberhart, Hu, 1999), (Wang et al., 2004), optimizacin de sistemas dinmicos (Hu y Eberhart, 2002), (Vesterstrom y Riget, 2002), procesado de seal (Zhao y Zheng, 2004), (Lu y Yan, 2004), gestin, planificacin y optimizacin de recursos en redes de distribucin de energa elctrica (Naka et al., 2001), (Koay y Srinivasan, 2003), (Naka et al., 2003), (Miranda y Fonseca, 2002), (Gaing, 2003), (Chang y Lu, 2002), gestin de redes de sensores (Veeramachaneni y Osadciw, 2004(1)), (Veeramachaneni y Osadciw, 2004(2)), planificacin de red en servicios de telecomunicacin (Yangyang et al., 2004), gestin empresarial (Tasgetiren y Liang, 2003) y teora de juegos (Franken y Engelbrecht, 2004), entre otros.

Por otro lado, una Red Neuronal Artificial, ANN por sus siglas en ingls de Artificial Neural Network, conocida como Perceptrn Multicapa es un modelo inspirado en el sistema neurolgico humano, cuyo objetivo es imitar el paradigma de aprendizaje. Las ANNs han sido ampliamente implementadas en procesos de estimacin, prediccin, y extraccin de caractersticas. La aplicacin de las ANNs en procesos de estimacin ha sido observada en diferentes tipos de industrias, tales como qumica (Svozil, 1997), pesca (Sholahuddin et al., 2015), agricultura (Dokić and Jovićen, 2017), entre otras. En todos los trabajos citados se ha encontrado que las ANNs constituyen un buen apoyo para la toma de decisiones. Parmee (2003), propone el uso de Redes Neuronales Artificiales en la Ingeniera de construccin para superar la incertidumbre ocasionada al momento de planificar los costos, debido generalmente a definiciones erradas. Ante sta necesidad de mejorar los procesos de toma de decisin asociados a la construccin de nuevos productos, los modelos de estimacin necesariamente deben entregar mayor exactitud.

Tomando estos antecedentes, se plantea un estudio del ajuste paramtrico que muestra los cambios en los coeficientes de aceleracin en la actualizacin de la posicin de las partculas en PSO, resolviendo un problema de estimacin de costos, mediante una Red Neuronal Artificial (ANN) con aprendizaje PSO. La investigacin est estructurada de la siguiente forma: la Seccin 2 se describe la Metodologa a utilizar, en la Seccin 3 se presentan los Resultados y Discusin, y en la Seccin 4 se muestran las Conclusiones.

 

Desarrollo

METODOLOGA

Es importante que en las aplicaciones en el mbito de la vida artificial se respeten cinco principios bsicos para PSO sobre la inteligencia de grupo (Kennedy y Eberhart, 1995), (Millonas, 1994), los cuales son: proximidad, calidad, diversidad de respuesta, estabilidad y adaptabilidad.

En la formulacin de PSO se define la velocidad de partcula como el nico operador disponible para controlar la evolucin de la optimizacin. Se considera una poblacin de I partculas donde cada partcula del enjambre se identifica con dos variables de estado inicializadas aleatoriamente dentro del espacio N-dimensional que establece el problema a optimizar: un vector velocidad [1] y un vector de posicin [2] que corresponde a una solucin potencial al problema de optimizacin:

 

[1]

[2]

[3]

 

Los lmites de los parmetros a optimizar [3] conforman en su conjunto el espacio de bsqueda al cual debe restringirse el movimiento del enjambre.

Adicionalmente cada partcula mantiene en memoria informacin de la posicin espacial asociada con la mejor solucin histricamente visitada por sta [4] y tambin conoce la posicin de la mejor partcula o solucin encontrada por todos sus semejantes [5]. El movimiento del enjambre se realiza en pasos temporales, que se traducen a nivel de algoritmo en iteraciones contiguas.

 

[4]

[5]

 

En cada iteracin del mtodo, k, cada una de las partculas de la poblacin recorre el espacio de soluciones con una velocidad Vi hacia nuevas posiciones Xi, de acuerdo con su propia experiencia Pi y con la experiencia aportada por el mejor de sus vecinos, G. En las primeras versiones del algoritmo (Kennedy y Eberhart, 1995) sta formulacin se reduce a las ecuaciones mostradas a continuacin [2.1] y [2.2].

 

[2.1]

 

[2.2]

 

Entonces, vin(k) y xin(k) representan, la velocidad y posicin en la iteracin o instante de tiempo k de la partcula i en la dimensin n-sima del espacio de bsqueda. Los factores c1 y c2 son las denominadas constantes de aceleracin cognitiva y social, que determinan en qu medida influyen sobre el movimiento de la partcula su propia memoria y la cooperacin entre individuos, respectivamente. Los trminos r1(k) y r2(k) son dos nmeros aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1, U (0,1), cuyo objetivo es emular el comportamiento estocstico y un tanto impredecible que exhibe la poblacin del enjambre. Despus de calcular la nueva velocidad de la partcula i en la dimensin n, la nueva posicin xin(k+1) se actualiza directamente de acuerdo con [2.2], donde se asume que la velocidad se aplica durante un cierto perodo de tiempo , tpicamente de valor unitario. El proceso descrito se extiende al espacio N-dimensional, de forma que se van componiendo iterativamente nuevos vectores de posicin Xi, utilizando, como en cualquier otro mtodo de cmputo evolutivo una funcin de fitness para ponderar la calidad de dicha solucin parcial, actualizando los vectores Pi y G si se detectan resultados mejores.

El movimiento de los agentes sobre el espacio de soluciones y el rendimiento del algoritmo est condicionado por el grado de contribucin de las tres componentes de la velocidad en [2.1] y que tienen que ver con el comportamiento social como mtodo de optimizacin global: hbito o inercia, para considerar la tendencia de la partcula; memoria, nostalgia o autoaprendizaje para incluir la experiencia de la propia partcula, y cooperacin, conocimiento social, conocimiento de grupo o informacin compartida, para reflejar el intercambio de informacin y el comportamiento social como grupo (Kennedy, 1997).

Existen diferentes mtricas para evaluar el rendimiento de la ANN, en este trabajo se calculan la Raz Cuadrada del Error Cuadrtico Medio RMSE [2.3] y el Coeficiente de Determinacin - R2 [2.5], como se muestra a continuacin,

 

[2.3]

 

[2.4]

 

[2.5]

 

donde es el i-simo valor observado, es el i-simo valor estimado, es la media del valor observado, y N es el nmero de muestras.

RESULTADOS Y DISCUSIN

En la aplicacin emprica, se realiza la variacin de coeficientes de aceleracin de PSO por medio de una ANN feedforward sigmoidal para la estimacin de costos de construccin industrial.

Para este estudio se utilizaron 2253 datos de un fabricante real de elementos de tubera para transferencia de fluidos en operaciones de minera a gran escala (Rodrguez y Durn, 2013). La base de datos incluye un conjunto de 6 variables de entrada y 1 de salida. Las variables significativas fueron identificadas por medio de un anlisis de correlacin entre las entradas y las salidas, en este caso son, peso, tipo de soldadura y dimetro.

El conjunto de datos se divide en dos partes: un conjunto de datos de entrenamiento (con el 75%) y un conjunto de datos de prueba con el restante 25%. El xito del algoritmo, radica en su capacidad de ajustar las posiciones de las partculas en un rea del espacio de soluciones prometedora, de acuerdo a una funcin objetivo que se desea minimizar, en este caso el Error Cuadrtico Medio (MSE).

En la Fig. 1 se muestran los resultados del desempeo de una ANN (3,5,1), de la funcin de costo Error Cuadrtico Medio (Mean Squared Error, MSE), y coeficientes de aceleracin, c1=0.05, c2=0.05. A partir de la figura, se observa que con ms de 200 repeticiones el algoritmo converge en el mnimo. En la Fig. 2 se han variado los coeficientes a c1=0.2, c2=0.2, como resultado se observa que el algoritmo logra el mnimo con alrededor de 400 repeticiones. Mientras que en la Fig. 3, se ilustran los resultados con los parmetros c1=0.5, c2=0.5, la funcin converge en ms de 300 iteraciones. En la Fig. 4, se presentan los resultados con los parmetros c1=0.95, c2=0.05, la funcin converge en 400 iteraciones, al igual que en la Fig. 5, la que usa c1=0.05, c2=0.95. En la Fig. 6 se presentan los resultados con los parmetros c1=0.95, c2=0.95, la funcin converge en menos de 400 iteraciones.

Todos los resultados de las mtricas aplicadas para evaluar la exactitud de la estimacin se muestran en la Tabla 1. A partir de los resultados se puede observar que valores muy pequeos de c1 y c2 (cercanos a cero) obtienen baja exactitud en la estimacin de costos de fabricacin de tubera, en tanto que la mejor exactitud es lograda por medio de una ANN cuyos coeficientes de aceleracin son mayores o iguales a 0.5. Los resultados presentados en las tablas guardan relacin con las aseveraciones de Duarte y Quiroga (2010), quienes determinan que los dos coeficientes de aceleracin cercanos a cero producirn una bsqueda fina en una regin, mientras coeficientes cercanos a uno permitirn a la partcula la posibilidad de sobrepasar al y al , resultando en una bsqueda amplia.

 

Figura 1: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c1=0.05, c2=0.05

(Bodero y Leguizamn, 2018)

 

Figura 2: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c1=0.2, c2=0.2

(Bodero y Leguizamn, 2018)

 

Figura 3: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c1=0.5, c2=0.5

(Bodero y Leguizamn, 2018)

 

Figura 4: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c1=0.05, c2=0.95

(Bodero y Leguizamn, 2018)

 

Figura 5: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c1=0.95, c2=0.05

(Bodero y Leguizamn, 2018)

 

Figura 6: ANN (3,5,1), Fitness MSE, c1=0.95, c2=0. 95

(Bodero y Leguizamn, 2018)

 

 

 

 

Tabla 1: Resultados de la exactitud en la estimacin, para los coeficientes de aceleracin c1 y c2

c1

c2

RMSE

R2

0.05

0.05

0.1937

53.0%

0.2

0.2

0.1859

56.8%

0.5

0.5

0.0640

94.9%

0.05

0.95

0.0615

95.3%

0.95

0.05

0.1031

88.2%

0.95

0.95

0.0623

95.1%

2.95

2.95

0.0618

95.3%

5.95

2.95

0.0612

95.2%

5.95

5.95

0.0612

95.3%

10

10

0.0675

95.3%

 

 

**los valores obtenidos en las mtricas RMSE R2 en el presente experimento, no difieren en mayor medida de los obtenidos por medio de un modelo neuronal ms complejo, una ANN recurrente aplicada por Barba y Bodero (2017), para analizar los mismos datos.

Conclusiones

Al finalizar la investigacin, se muestran las siguientes conclusiones:

En el modelo del algoritmo PSO el ajuste paramtrico de los coeficientes de aceleracin c1 y c2 son variaciones consideradas importantes:

 

Las partculas sern independientes cuando c1 > 0 y c2 = 0, y colectivas con c1 = 0 y c2 > 0.

Las partculas sern atradas por un valor promedio si c1 = c2 > 0.

La experiencia propia es mayor que la del grupo si c1 > c2 y la experiencia del grupo es mayor que la propia con c1 < c2.

Si c1 y c2 disminuyen, las trayectorias de desplazamiento de las partculas son suaves.

Si c1 y c2 aumentan, entonces los movimientos de las partculas sern abruptos.

 

Un mal ajuste de los parmetros puede provocar que el PSO converja a una solucin en pocas iteraciones, o a una buena solucin en muchas iteraciones. A menudo, PSO puede encontrar una mala solucin en pocas iteraciones, conocida como convergencia prematura, o una mala solucin en muchas iteraciones.

 

La capacidad de ajustar las posiciones de las partculas en un espacio de soluciones satisfactoria, tomando en cuenta la funcin objetivo a minimizar (Error Cuadrtico Medio - MSE) garantiz el xito del algoritmo del experimento. Para valores muy pequeos de c1 y c2 (cercanos a cero) se obtiene una baja exactitud en la estimacin de costos de fabricacin de tubera. Una ANN ofrece mayor exactitud con coeficientes de aceleracin mayores o iguales a 0.5, como lo indican en su estudio Duarte y Quiroga (2010).

Los resultados alcanzados en las mtricas RMSE R2 en este experimento utilizando una ANN tipo feedforward sigmoidal con aprendizaje PSO no difieren significativamente de los obtenidos por medio de una ANN recurrente aplicada por Barba y Bodero (2017), para analizar los mismos datos.

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[1] Universidad Nacional de Chimborazo

[2] Universidad Nacional de Chimborazo

[3] Universidad Nacional de Chimborazo

[4] Universidad Nacional de Chimborazo

[5] Universidad Nacional de Chimborazo

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