Desarrollo de modelos polinomiales para el cálculo de
densidad de materiales azucareros en función del °Brix y
Temperatura y su aplicación a sistemas informáticos
Development of polynomial models for the calculation of
density of sugar materials
based on °Brix and Temperature
and its application to computer systems
Oscar Vasquez
1
ovasquezc@ucacue.edu.ec
Marcos Orellana Parra
1
morellanap@ucacue.edu.ec
Ana Hinojosa Caballero
1
aghinojosac@uacue.edu.ec
Recibido: 1/07/2017, Aceptado: 1/09/ 2017
RESUMEN
Esta investigación busca la determinación de un modelo matemático aplicado a
sistemas informáticos, que permita calcular la densidad de materiales azucareros
(con pureza superiores a 75%) en función de la temperatura y °Brix. Esta
determinación es de sumo interés para los balances másicos azucareros que
dependen de la densidad y °Brix de los materiales azucareros, ambos son
influenciado por la temperatura, por lo que deben ser corregidos y llevados a 20°C,
que es la temperatura estándar para los diferentes cálculos másicos en los ingenios
azucareros, cuyo fin persigue determinar la eficiencia de recuperación de azúcar en
la fábrica. A los diferentes datos para °Brix, densidad y temperatura utilizados en esta
investigación, extraídos de los libros de tecnología azucarera de uso general en los
ingenios, con el uso del programa Microsoft Excel, y aplicando los diferentes modelos
de ajuste de curva, ya sea lineal, exponencial, logarítmico y polinomial, este estudio
estableció el modelo polinomial en base al método de los mínimos cuadrados como
una propuesta confiable para el cálculo de la densidad de materiales azucareros
corregida a 20°C, considerando que en el cálculo del coeficiente de regresión sus
valores obtenidos fueron de 0.99999, es decir cercano al valor ideal de un coeficiente
de regresión que es 1. Además, los resultados generados por este modelo en el
sistema informático fueron similares con los obtenidos en el sitio web
www.sugarengineers.co.za/density/index.php, conociendo que este sitio web es un
referente mundial en el quehacer de la ingeniería azucarera.
Palabras clave: °Brix, densidad, pureza, eficiencia de recuperación de azúcar,
ajuste de curva
1
Universidad Católica de Cuenca, La Troncal, Cañar, Ecuador
Revista científica Ciencia y Tecnología Vol 17 No 16
II Jornada de investigación págs. 157-171
http://cienciaytecnologia.uteg.edu.ec
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ABSTRACT
The objective of this research pursued the determination of a mathematical model
applied to a spreadsheet that allows you to calculate the density of sugar materials
(with more than 75% purity) depending on the temperature and the ° Brix. This
determination is of great interest for the sugar mass balance depending on the density
and ° Brix sugar materials. Both are influenced by temperature, so it should be
corrected and taken to 20° C, which is the standard temperature for different
calculations mass in the sugar mills, which aims to determine the recovery efficiency
of sugar factory. To different data for ° Brix, density and temperature used in this
research, taken from the books of sugar technology, commonly used in refineries, with
the use of the Microsoft Excel program, version XP or higher, applying different models
of curve fit, either linear, exponential, logarithmic, and polynomial, this study
establishes the polynomial model based on the method of the least squares as a
proposal for the calculation of the density of sugar materials corrected at 20° C, and
for this reason the results generated from this model were similar with those obtained
on the web site; The Sugar Engineers, considering that this web site is a world leader
in sugar work.
Keywords: ° Brix, purity, density, recovery efficiency of sugar, adjust curve
Introducción
En los procesos industriales de la elaboración del azúcar, el control analítico del °Brix
y °Pol es fundamental en el cálculo de la eficiencia de la fábrica de un ingenio
azucarero, número que relaciona la cantidad de azúcar disponible en la caña previo al
proceso de molienda contra la cantidad de azúcar real recuperada en el proceso
productivo (Hugot, 1986; Chen, 1991; Rein, 2007). En este sentido, entre las
principales operaciones unitarias azucareras se encuentra la concentración de sólidos
(°Brix y °Pol) debido a la eliminación del agua del jugo de la caña por ebullición, usando
como energía calorífica aquella procedente principalmente del vapor de agua generada
en las calderas.
En el proceso de concentración de sólidos del jugo de la caña y otros de materiales
azucareros tales como meladura, masas y mieles el °Brix incrementa su valor, pero su
vez el índice de refracción que está en relación directa con el °Brix sufre cambios por
efectos de la temperatura, por lo que la lectura del °Brix tomada a cualesquiera
temperaturas que no sea 20 °C debe ser corregido (Chen, 1991). Por esta razón en
los diferentes libros de tecnología y/o ingeniería azucarera incluyen tablas de
corrección por temperatura para las mediciones de °Brix.
Esta corrección debe realizarse agregando o disminuyendo determinado valor al °Brix
leído si éste es realizado por encima o debajo de los 20°C., respectivamente. A
continuación, se muestra una parte de la tabla de corrección por temperatura para
mediciones de °Brix, extraído de la tabla 21 del libro “Manual de Azúcar de Caña” de
James Chen.
En base al nuevo valor de °Brix o °Brix corregido es posible determinar otras
variables tales como la densidad del material azucarero que será utilizado para
cuantificar el peso del material azucarero que se encuentra en su tanque recolector
en el momento de realizar el balance de sacarosa en la fábrica. La densidad y su
relación con el °Brix en función de la temperatura es encontrado en tablas publicadas
en los diferentes textos de literatura azucarera, especialmente en el “Libro de Métodos
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(2005)” de ICUMSA, apéndice1 Tabla A y apéndice 2 Tabla B., libro oficial a nivel
internacional que contiene los diferentes ensayos para el azúcar y sus derivados.
En las ciencias matemáticas existen métodos como el ajuste de curva que permite
representar series de datos dos variables, entre ellos datos de tablas, en forma de
ecuaciones tales como la lineal y polinomial. (Kreyszing, 1980; Mason & Lind, 1998).
Modelo Lineal: Ajusta un conjunto de datos de dos variables a una ecuación lineal de
la forma y = a + bx.
La aplicación del método de los mínimos cuadrados permite obtener los parámetros a
y b de la ecuación referida. Esta técnica tiene su fundamento en la determinación de
las mínimas distancias entre cada uno de los puntos y la recta, generando las
siguientes derivadas parciales.
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Obteniendo las derivadas parciales e igualando a 0, las ecuaciones quedan como:
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones dará como resultados los valores de los
parámetros a y b, quedando definida de esta forma la ecuación lineal.
Modelo Polinomial: Mediante el método de mínimos cuadrados, un conjunto de datos
de dos variables se ajusta a una función polinomial de la forma:
En donde la suma de los cuadrados será:
Sus derivadas parciales para un polinomio de tercer grado a aplicarse en este estudio,
quedan como:
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La solución de este sistema de ecuaciones puede obtenerse aplicando métodos
numéricos tales como Gauss – Jordan, Gauss – Seidel, Jacobi.
En la Introducción el autor ofrece una visión concisa y analítica del objetivo de la
ponencia, de los trabajos e investigaciones previas dedicadas a la temática, así como
de los antecedentes del estudio. Desarrollo de las teorías sustantivas o enfoques que
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la investigación presente. En este caso la introducción es el cuerpo de artículo.
Método
En este estudio las tablas base para la determinación de la densidad en función del
°Brix y la temperatura han sido seleccionada del “Libro de Métodos (2005)” de
ICUMSA que corresponden a apéndice 1 Tabla A y apéndice 2 Tabla B. De esta última
tabla en la primera fila está ubicada la temperatura que va desde 10°C hasta 80°C
en intervalos de 10°C y en primera columna viene representada por °Brix (w en %)
con rango de 0 a 85 °Brix en intervalos de 5 °Brix y en la intersección de fila y
columna se encuentra la densidad en kg/m3, tal como se indica en la tabla 1.
Tabla 1. Densidad en función del °Brix y Temperatura
Fuente: Libro de Métodos (2005)
Para valores de °Brix y temperatura impresos en esta tabla no existe dificultad para
determinar la densidad del material, así por ejemplo para °Brix = 35 y temperatura =
50 °C responde a un valor de densidad de 1137.641 kg/m3 o así con °Brix = 80 y
temperatura = 70 genera una densidad de 1382.95 kg/m3.
Pero el uso de la tabla se vuelve dificultosa cuando hay que obtener valores de la
densidad con datos de °Brix y temperatura que no constan en ella. Así por ejemplo,
para °Brix = 53 y temperatura = 36.5 °C, la tabla no dispone estos valores incluido
la densidad.
Como solución a esta limitante mediante la aplicación de ajuste de curva por el
método de mínimos cuadrados se obtiene polinomios para cada valor de °Brix de la
tabla en correspondencia con sus temperaturas.
Desarrollo del Polinomio para 0 °Brix y Temperaturas Correspondientes
De la tabla 2 para 0 °Brix y temperatura correspondiente se calcula las diferentes
sumatorias necesarias para obtener el polinomio por el método de mínimos
cuadrados, obteniéndose los resultados indicados en la tabla 2.
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Tabla 2. Temperatura y Densidad para 0 °Brix
Fuente: Libro de Métodos (2005)
El sistema de ecuaciones queda como:
Aplicando el método de Gauss – Jordan, la solución para el sistema es:
El modelo polinomial para determinar la densidad en función de la temperatura a 0
°Brix queda definido con la siguiente ecuación:
Coeficiente de Correlación =
0.999995 En donde,
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Densidad = Densidad del material azucarero en kg/m3
t = Temperatura en °C.
Utilizando el mismo procedimiento de cálculo fue obtenido los polinomios para los demás
valores de °Brix, mostrados a continuación.
°Brix = 5
Coeficiente de Correlación = 0.999996
°Brix = 10
Coeficiente de Correlación = 0.999997
°Brix = 15
Coeficiente de Correlación = 0.999998
°Brix = 25
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 30
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 35
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 40
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 45
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 50
Coeficiente de Correlación = 0.999999
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°Brix = 55
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 60
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 65
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 70
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 75
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 80
Coeficiente de Correlación = 0.999999
°Brix = 85
Coeficiente de Correlación = 0.999999
Con estas funciones polinómicas es posible calcular la densidad de soluciones
azucaradas a temperaturas entre 0 y 100 °C. Para el caso del cálculo de la densidad
para valores de °Brix que no está definida su ecuación, debe procederse a realizar
una interpolación ya sea lineal o polinómica.
Por ejemplo, determinar la densidad de solución de azúcar a 83 °Brix cuya
temperatura es 46 °C.
Solución: Proceder primero a encontrar densidad de material a 80 °Brix y luego a 85
°Brix a la temperatura de 46°C, usando las ecuaciones polinomiales ya definidas:
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Luego con estas dos densidades interpolar la densidad al °Brix de 83, aplicando el
modelo lineal siguiente:
Una vez definido todos los modelos matemáticos a utilizarse en la determinación de
la densidad de soluciones azucaradas en función del °Brix y temperatura, usando la
aplicación Excel de Microsoft Office se procede a programar las diferentes funciones
para automatizar este cálculo.
A continuación, detalle de la programación en Microsoft Visual Basic para Aplicaciones
incluido en Excel.
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Gráfico 1. Programación en Microsoft Visual Basic para Aplicaciones incluido
en Excel
Fuente: Elaboración propia
El módulo de programación Visual Basic de Excel para la función en estudio puede verse
en el siguiente gráfico:
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Gráfico 2. Módulo de programación Visual Basic de Excel
Fuente: Elaboración propia
Una vez realizado la programación, queda registrado automáticamente en la hoja de
Excel una nueva función de nombre densidad que utiliza dos parámetros, °Brix y
temperatura.
Entonces en cualquier celda puede ingresarse esta función con los dos parámetros
para obtener su resultado, tal como indica la siguiente figura.
Resultados
Una serie de datos para ° Brix y temperatura fueron ensayados en la hoja de cálculo
que contenía la función para el cálculo de la densidad indicado anteriormente y sus
resultados fueron comparados con las densidades que arrojo la aplicación web The
Sugar Engineers en lo que corresponde a propiedad de materiales. Los resultados
comparativos se muestran en la siguiente tabla.
Tabla 3. Resultados comparativos The Sugar Engineers
Fuente: Elaboración propia.
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Tabla 4. Resultados comparativos de densidades
Fuente: Elaboración propia
(*): El valor de densidad de polinomio fue redondeado a un decimal
debido a que la densidad del sistema Sugar Engineers solo arroja
valores con un decimal.
Discusión
Los resultados de densidad en función de °Brix y temperatura obtenidos en la hoja
de Excel programada y en el sistema Sugar Engineers
(www.sugarengineers.co.za/density/index.php) todos fueron similares, presentado
diferencia en el segundo decimal pero esencialmente porque el sistema Sugar
Engineers despliega resultados con precisión de valores de un decimal y no permite
una comparación exhaustiva, sin embargo la aplicación de estos modelos polinómicos
para el cálculo de la densidad de materiales azucareros presenta confiabilidad en su
uso porque el coeficiente de correlación (r) obtenido para cada polinomio correspondía
a un valor de 0.99999, cercano al ideal de 1. Una gran ventaja que presenta este
modelo matemático en Excel es que permite ingresar datos °Brix entre el rango de
0.00 a 100.00 y para la temperatura entre el rango de 0.00 °C a 100 .00°C,
incluyendo valores decimales para ambas variables; no así el Sistema Sugar
Engineers que solo permite ingresar valores enteros tanto para °Brix como para
temperatura, con rangos entre 5 a 90 para °Brix y 20°C a 80°C para la temperatura.
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Referencias bibliográficas
Bartens K. Leithold, L. ( 2000). El Cálculo. 7ma. Edición. México. Editorial Universitaria
Iberoamericana.
ICUMSA (2006). Libro de Métodos. Berlin. Verlag Dr.
Chen, C.P (1991). Manual del azúcar de caña. México. Editorial Limusa.
Hugot, E. (1986). Handbook of Cane Sugar Engineering. Holland. 3ra Edition.
Amsterdam. Elsevier.
Kreyszig, E. (1980). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. México. Editorial
Limusa.
Mason, R., & Lind, D. (1998). Estadística para Administración y Economía. 8va.
Edición. México. Alfaomega Grupo Editor.
Rein, P. (2007). Cane Sugar Engineering. Berlin. Verlag Dr.
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